História da Matemática na educação

Atividade para 03/09/2016

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Etnomatemática na prática

A construção de saberes matemáticos entre jovens e adultos do Morro de São Carlos

Etnomatemática

Texto complementar

Etnomatemática: um estudo da evolução das ideias

Etnomatemática

Texto para 20/08/2016

O que é etnomatemática.
Para acessar, clique no link http://www.ufrrj.br/leptrans/arquivos/etno.pdf

Educação Matemática como fenômeno emergente - Leitura para 06/08/2016

A educação matemática como fenómeno emergente: desafios e perspectivas possíveis

João Filipe Matos[1]

Resumo: Neste artigo discuto uma perspectiva sobre a educação matemática em que esta é encarada como fenómeno emergente. Para isso, começo por focar o que são na minha perspectiva as finalidades da matemática escolar e, através de exemplos, distingo o que se poderá chamar de “ensinar matemática” da ideia de “educar matematicamente”. Partindo dos trabalhos de Jean Lave e Etienne Wenger, de seguida desenvolvo a ideia de design para a educação matemática como meio de criar condições que favoreçam certas formas de participação em comunidades de prática encarando a aprendizagem como parte integrante das práticas sociais e retirando daí implicações para o entendimento da educação matemática como fenómeno emergente. Nessa discussão assume papel muito importante a noção de pertença. Finalmente, aponto alguns desafios e possibilidades de desenvolvimento destas ideias a nível curricular e ao nível da formação de professores de educação matemática.

Palavras chave: educação matemática; aprendizagem; design; comunidades de prática.

Ainda as finalidades da educação matemática na escola

Dentro das finalidades da educação matemática inclui-se o desenvolvimento do poder dos alunos e dos indivíduos em sociedade, quer para ultrapassar barreiras do seu desenvolvimento em termos de educação e emprego, quer no sentido de aumentar a sua auto-determinação e o seu envolvimento crítico na cidadania social. A finalidade última da educação é a mudança social em direcção a uma sociedade mais justa e mais igualitária. Na prática escolar isto significa o questionamento permanente e sistemático, abrindo espaços de discussão e permitindo (e encorajando) o conflito de opiniões e pontos de vista, o questionamento dos temas matemáticos e da sua relevância e a negociação de objectivos partilhados. Pode-se argumentar-se contra este tipo de abordagem dizendo que se pode tornar facilmente em propaganda política barata e demagógica. Pode, de facto. E isso apenas acentua a questão da responsabilidade do professor buscando a discussão das coisas, a apresentação de pontos de vista contraditórios, explorando os espaços de questionamento e estimulando a discussão acalorada em vez de procurar consensos e apresentar a “boa visão” (do professor). Hoje em dia os jovens cada vez menos aceitam passivamente as opiniões dos adultos e dos seus professores pelo que é tremendamente maior o benefício desta abordagem se comparada com o risco de deixar aos alunos a ideia de que os saberes que a escola lhes trás se apresentam neutros e despidos de qualquer relação com o respectivo campo de produção e com as pessoas que os produzem e usam. Equacionar o ensino escolar da matemática como a transmissão de factos matemáticos às crianças e aos jovens não faz já mais sentido no mundo actual. Mas vale a pena insistir na argumentação a favor desta ideia. Primeiro, embora a matemática esteja cada vez mais presente em todos os fenómenos sociais, isto é, cada vez mais a sociedade seja regulada por modelos matemáticos complexos, é também verdade que cada vez menos o cidadão tem que conhecer a matemática que suporta esses modelos. O que lhe é exigido cada vez mais é a capacidade de saber lidar com esses modelos, desocultá-los, perceber a sua presença, ser crítico relativamente aos modos como são aceites na sociedade, perceber as intenções e os modos como são produzidos, etc. Segundo, o ênfase deve ser colocado na educação matemática (dos jovens) e não no ensino de matemática. No editorial do número temático da revista Quadrante sobre Educação Matemática e Cidadania (Matos, 2002) argumentei que a disciplina de Matemática deve ser urgentemente eliminada dos currículos do ensino básico[2] . Em vez da disciplina de matemática proponho a criação da disciplina de educação matemática com o objectivo essencial de contribuir para o desenvolvimento de um ponto de vista matemático sobre as coisas[3] . Isto significa naturalmente que as crianças precisarão de conhecer alguns factos matemáticos mas significa também que o essencial da disciplina não será a matemática mas o seu uso como um dos recursos estruturantes do pensamento, da reflexão e da acção. E claro que esta proposta é acompanhada de implicações importantes sobre a avaliação escolar em matemática que tem que deixar de ser entendida como sinónimo de classificação[4] . Mas a questão principal é que a escola, ao encarar o seu papel como o de educar os alunos, tire daí as implicações para a área da matemática assumindo a educação matemática dos alunos de facto como a prioridade. Terceiro, um movimento de alteração das perspectivas sobre as finalidades da matemática escolar no sentido de criar uma cultura de educação matemática visando a   participação dos jovens na construção e sustentação de uma sociedade democrática, tem que ser enquadrado numa problematização mais alargada da escola e do seu papel na educação dos jovens. Provavelmente, muitas das questões que aqui coloco relativamente à matemática escolar poderiam (deveriam) ser colocadas em relação a outras disciplinas ou até a à sua totalidade. Equacionar as questões da educação matemática de um modo isolado fora de uma discussão das funções da escola pode trazer o risco de se estar a criar novos modos de operacionalizar a sua função reguladora em vez do carácter emancipatório que deve assumir. O que é educar matematicamente? Ao distinguir entre ensinar matemática e educar matematicamente estou a colocar em confronto duas perspectivas. Aquela que parece ler-se nas entrelinhas de algumas visões sobre a didáctica da matemática coloca o ensino da matemática como incidindo essencialmente na tarefa de fazer com os alunos aprendam matemática, ponto final (entendendo-se que aprender matemática significa conhecer factos matemáticos). Nesta visão, educar matematicamente parece ser entendido como fornecer aos alunos factos matemáticos recontextualizados e reificados na prática escolar com o argumento de que ou serão úteis noutras disciplinas ou serão úteis alguma vez na vida. Pode ler-se aqui alguns elementos do que Skovsmose e Valero (2002) chamam a “ressonância intrínseca” - a crença de que as aprendizagens matemáticas tradicionais farão (algum dia) ressonância no desenvolvimento pessoal e social dos jovens e dos adultos. Um dos maiores erros desta perspectiva é ignorar que uma grande parte dos jovens será tacitamente excluída do acesso a outras formas de conhecimento e a outras posições e empregos. Numa outra perspectiva pode entender-se que a matemática constitui um instrumento que confere uma dimensão muitíssimo potente aos modelos que a sociedade cria e adopta. Como tal, a educação deve incluir formas de aprender a lidar com esses modelos. Uma parte dessa aprendizagem pode resultar de educar matematicamente os jovens. E educar matematicamente inclui levar os alunos a apropriar-se de modos de entender matematicamente as situações do dia-a-dia[5]. Para elaborar sobre esta questão vou utilizar um exemplo de um problema típico dos livros de texto do ensino elementar. Exemplo

Uma viagem de autocarro do Campo Grande para Rossio custa €1 por pessoa. Quanto paga uma família de 4 pessoas? A pergunta colocada pode ser lida apenas ao nível da aritmética[6]. A mensagem que tradicionalmente se passa aos alunos é que é preciso descobrir o método certo para resolver o problema: 4 x €1 = €4. Mas claro que se pode ler o problema do ponto de vista da questão “quanto deve custar a viagem da família de quatro pessoas”. Em Lisboa, a densidade do trânsito é insuportável, uma imensa maioria de pessoas utiliza o automóvel próprio para se deslocar. Os autocarros não são tão eficientes como seria desejável e as viagens de autocarro ainda são demoradas. Para ir do Campo Grande ao Rossio demora-se cerca de 30 minutos se não houver muito trânsito[7]. Há que encorajar que as pessoas se desloquem de autocarro. Os preços deveriam baixar e os incentivos à sua utilização deveriam ser maiores. Uma família de quatro pessoas deveria ter uma redução no preço já que constitui uma unidade (supostamente) a valorizar pela sociedade (quer por se tratar de uma agregado familiar quer pelo simples facto de viajar em conjunto). Uma perspectiva de educação matemática no sentido que mencionei acima tomaria este problema como uma questão susceptível de análise mais global uma vez que os preços e a eficácia dos transportes públicos e privados numa cidade são elementos que ajudam a definir a mobilidade dos cidadãos. Como tal a área temática dos transportes poderia ser entendida como uma dos pontos essenciais de desenvolvimento do trabalho num determinado período. Essencial tornar-se-ia não aprender o cálculo aritmético mas utilizá-lo (e por isso, e com isso, aprendendo-o) na análise de uma prática do dia-a-dia: deslocarmo-nos de um lado para o outro utilizando algum meio auxiliar como o autocarro. Essencial passaria igualmente a ser o   questionamento do modelo da proporcionalidade que se aplica socialmente de modo quase universal e que formata imensamente a forma de pensar dos humanos[8]. Este exemplo serve para pensar na necessidade de abandonar a ideia de que educar matematicamente os alunos é conduzi-los à ‘aquisição de conceitos e técnicas da matemática’ enquanto ciência produzida pelos matemáticos. Aliás, a metáfora da aquisição de saberes está fortemente ligada à ideia de que a função da escola é exactamente fornecer ou disponibilizar saberes. Uma perspectiva que assume a participação das pessoas como um elemento chave na construção do conhecimento, reclama que a função da escola é constituir um campo de construção de saberes, uma comunidade com práticas próprias (que não se confundem com as práticas dos matemáticos ou com outras práticas profissionais e que são essencialmente práticas escolares) que é preciso questionar em função do tipo de finalidades da educação matemática que discuti acima.

Sobre o mito da neutralidade da matemática e da educação matemática

As perspectivas positivistas reclamam que o conhecimento, embora produto humano, é completamente separado das pessoas que o produzem, em si mesmo neutro, isento de valores e objectivo. E desse modo reservam a aprendizagem à ideia de descoberta de factos estáticos, da sua descrição e classificação. Quero aqui contrariar essa ideia. Para começar, é importante realçar que o conhecimento matemático é continuamente criado e recriado à medida que as pessoas actuam e reflectem sobre o mundo. O conhecimento não é fixado de modo permanente nas propriedades abstractas dos objectos matemáticos. Adquirir conhecimento e produzir conhecimento são dois momentos de um mesmo ciclo. Esta ideia envolve a noção de que o conhecimento é um produto emergente da acção e da interacção da consciência humana e da realidade. Através da acção e reflexão, interagindo dialeticamente para recriar a percepção e descrição da realidade, criam-se práticas que envolvem aprendizagens de modo natural. Mas estas práticas não são neutras. O conhecimento matemático não existe fora dos modos como é usado, fora dos interesses para os quais é usado e das razões pelas quais é usado. Do mesmo modo, a educação matemática ou o ensino da matemática que é proporcionado aos alunos não existe fora dos modos, interesses e razões que lhe estão subjacentes (tenhamos ou não consciência delas). A matemática (enquanto disciplina escolar) contribui fortemente para a exclusão escolar e social de um número elevadíssimos de crianças e de jovens. Vemos, ouvimos e lemos esses factos diariamente na imprensa generalista e especializada. Não podemos ignorar a nossa responsabilidade no papel de filtro social que foi sendo criado com o ensino da matemática na escola básica e secundária[9]. Não se pode mais limitar o papel do professor a ensinar matemática. É essencial reconhecer a dimensão social, ética e política no ensino da matemática e assumir que não existe neutralidade nesse ensino. O que isto exige aos professores e aos educadores é uma questão que merece análise própria. Aprendizagem como participação em comunidades e prática O argumento principal deste texto é a ideia de que a educação matemática das pessoas constitui um fenómeno emergente das práticas em que são imersas e em que participam. Isto significa que, tal como Lave e Wenger (1991), assumo a ideia de que as aprendizagens são elementos integrantes das práticas sociais. Mas equacionar a aprendizagem como participação em comunidades de prática obriga a discutir mais em pormenor este conceito e a desocultar alguns dos conceitos associados. A noção de comunidade de prática tal como é utilizada nas perspectivas teóricas que consideram a aprendizagem como fenómeno situado (Lave e Wenger, 1991; Wenger, 1998) surge como útil na discussão da ideia de educação matemática como fenómeno emergente. Por um lado, a ideia de comunidade de prática pode ser entendida como uma ferramenta analítica que permite encontrar um certo olhar sobre as aprendizagens; por outro lado, pode ser usada para avançar princípios que constituam um possível design para as práticas escolares em educação matemática, de modo a permitir organizar princípios de acção e esforços para cultivar e sustentar comunidades onde a participação implique aprendizagens significativas em educação matemática[10]. De acordo com Wenger (1998), “as comunidades de prática dizem respeito ao conteúdo, (…) não à forma” (p. 229). Mas apesar disso, e apesar das múltiplas formas que podem tomar, há três elementos estruturais nas comunidades de prática (Wenger, McDermott & Snyder, 2002): o domínio, a comunidade e a prática. O domínio é aquilo que cria uma base comum e um sentido de desenvolvimento de uma identidade legitimando a comunidade através da “afirmação dos seus propósitos e valor aos membros dessa comunidade” (p.27). Trata-se do elemento principal de inspiração dos membros para contribuírem e para participarem de modo a fazerem sentido dos significados das suas acções e das suas iniciativas. No entanto, o domínio não é um conjunto fixo de problemas, trata-se de algo que acompanha a evolução do mundo social e da própria comunidade. No que respeita ao ensino e aprendizagem da matemática, o domínio tem sido sistematicamente entendido como matemática escolar[11] mas é necessário colocar o desafio de cada vez o definir mais como ‘educação matemática’ (no sentido que acima discuti). Uma alteração do domínio implicará necessariamente alterações mas formas como a prática e a comunidade se desenvolvem. “A comunidade é aquilo que constitui a fabricação social[12] da aprendizagem” (p.28). Assumindo que a aprendizagem é uma questão essencialmente de pertença e de participação, a comunidade torna-se um elemento central como grupo de pessoas que interagem, aprendem conjuntamente, constroem relações entre si, desenvolvem um sentido de engajamento mútuo e de pertença. Mas a ideia de comunidade não implica que exista homogeneidade. Se as interacções a longo prazo tendem a criar uma “história comum e uma identidade comunitária” (p. 35), ao mesmo tempo ela encoraja a diferenciação entre os membros que assumem papéis distintos e criam as suas diversas especialidades e estilos. Um dos aspectos mais relevantes no desenvolvimento de comunidades em educação matemática é a necessidade de uma massa crítica de pessoas que sustentem a participação mas deve ter-se a noção de que se a comunidade atinge  uma dimensão demasiado grande isso pode igualmente inibir a participação[13] . À medida que a comunidade evolui, a sua natureza muda e é nesse quadro que assumem grande importância as questões de liderança na criação de uma atmosfera e ao mesmo tempo de um foco que favoreçam práticas conducentes às aprendizagens desejadas. A prática é constituída por um conjunto de “esquemas de trabalho, ideias, informação, estilos, linguagem, histórias e documentos que são partilhados pelos membros da comunidade[14]. Enquanto que o domínio denota o tópico em que a comunidade se foca, a prática é o conhecimento específico que a comunidade desenvolve, partilha e mantém” (p.29). A prática evolui como um “produto colectivo” integrado no trabalho dos participantes organizando o conhecimento em formas que o tornam útil para esses participantes na medida em que reflecte a sua perspectiva. Compreender a relevância da ideia de comunidade de prática como elemento que permite ver a educação matemática como fenómeno emergente, exige ir um pouco mais longe na caracterização daquilo que está envolvido na ideia de pertença a comunidades de prática.

Modos de pertença em comunidades de prática

Uma perspectiva situada entende a aprendizagem como uma experiência vivencial que faz parte integrante da participação em comunidades de prática. A participação é algo emergente e intencional que não pode ser prescrito nem legislado do mesmo modo que não pode ser completamente planeada mas apenas “designed for”[15], isto é, facilitada ou frustrada. Mas é possível pensar em modos de enriquecer a atmosfera da comunidade onde se pretende que ocorram determinadas aprendizagens. É neste ponto que faz sentido falar de design mas ao mesmo tempo chamar a atenção para o facto de que a prática subsequente à elaboração de um determinado design não é o resultado desse design mas sim a reacção ao design. É neste mesmo sentido que não se pode entender a  aprendizagem escolar como o resultado do ensino feito pelo professor, não existe tal causalidade entre ensino e aprendizagem na escola. A aprendizagem ocorre na medida em que os alunos estão envolvidos em formas de participação em práticas que implicam essas aprendizagens que são elas próprios elementos integrantes das práticas. O design – entendido aqui como “arquitectura para aprendizagens” (Wenger et al, 2002) – deve oferecer possibilidades que favoreçam diversos modos de pertença que as pessoas colocam em acção quando precisam ou querem[16] ser membros de uma comunidade. Discuto de seguida em pormenor os três modos de pertença avançados por Wenger (1998) que podem ajudar a pensar o design de comunidades de prática em que os participantes se tornem matematicamente educados. O engajamento mútuo. O engajamento de crianças e adultos numa dada prática não é apenas uma questão de actividade. Se se pretende ver o desenvolvimento de uma comunidade com determinadas características (com o objectivo de criar um certo tipo de ambiente com uma certa perspectiva do que é ser educado matematicamente) não é suficiente proporcionar os recursos entendidos como adequados. A construção de uma comunidade envolve ajudar os participantes a criar infra-estruturas de engajamento que devem incluir a) mutualidade, b) competência e c) continuidade (Wenger, 1998). A mutualidade é certamente uma condição para que a prática tenha lugar e para que a comunidade exista. As condições para o desenvolvimento de mutualidade na comunidade incluem (i) elementos que facilitem as interacções (e.g. espaços físicos e virtuais, comunicação, tempo), (ii) haver tarefas conjuntas definidas colegialmente (e.g. pontos de entrada para projectos específicos, agendas transparentes), e (iii) permitir a periferia na participação (e.g. criando oportunidades para o engajamento das pessoas em encontros de natureza mais informal e para participar em graus diferentes nas actividades de acordo com as decisões tomadas em espaços com esse objectivo). Uma das implicações destas ideias é que um conjunto de alunos a trabalhar na escola com um ou dois professores em educação matemática tem na sua responsabilidade a definição das metas e das formas de trabalhar para as atingir. Em segundo lugar, a competência. Não se trata de algo que possa ser pré-definido ou daquilo que significa ser matematicamente competente. A competência é criada e definida na acção. Por esta razão, os participantes numa comunidade de prática devem ter oportunidades para actuar as suas competências, incluindo i) um sentido de que existe espaço para tomarem iniciativa e condições para que essas iniciativas se tornem patentes a outros (e.g. criando ocasiões para aplicar certos skills, criando e partilhando soluções para problemas específicos, propondo e tomando decisões quer em pequeno grupo quer a nível mais global), (ii) a compreensão de que existem momentos de dar contas do trabalho feito (e.g. apresentando o seu trabalho a outros, discutindo, exercendo e sujeitando-se a uma avaliação crítica por parte dos outros; identificando diferentes estilos de fazer as coisas e confrontá-las com as suas próprias tirando daí implicações; criando espaço e disponibilidade que encorajem a expressão da diferença e integrando estilos e formas de trabalho diferentes; ajudando a criar pontos de entrada para a negociação e desenvolvimento de empreendimentos comuns), e (iii) colocando em jogo as ferramentas adequadas, quer em termos de artefactos físicos como de artefactos conceptuais que ajudem a sustentar as competências dos participantes (e.g. conceitos e linguagem que ajude ao desenvolvimento de um reportório comum e partilhado entre os participantes). Em terceiro lugar, e igualmente importante, é o elemento continuidade uma vez que as pessoas participando na comunidade necessitam de sentir que a prática é sustentada (e que eles contribuem para essa sustentação) e que existe um programa estável de actividades. A continuidade da prática é sustentada em duas dimensões: (i) através da produção de memórias reificativas (e.g. construindo e mantendo a história da prática através de registos e de partilha da informação sobre as actividades em curso, documentando os modos como as coisas vão sendo feitas, discutindo e fazendo representações dos resultados da discussão), e (ii) produzindo memórias participativas (e.g. partilhando e discutindo histórias da prática, criando espaços de interacção que permitam que as pessoas participem na negociação do modo como as histórias são contadas e os acontecimentos são relatados na comunidade, criando formas de demonstrar os seus desenvolvimentos).

Imaginação. Tal como referi anteriormente, não é suficiente oferecer condições físicas para que as pessoas participem numa dada prática. É fundamental que os participantes tenham algumas pistas que lhes permitam reclamar a sua imaginação de modo a tornar possível que a aprendizagem acompanhe o contexto mais vasto e que as pessoas encontrem referências adequadas (e úteis) e adquiram um sentimento de pertença à comunidade mais vasta. É por esta razão que as práticas em educação matemática devem envolver possibilidades de orientação, reflexão e exploração. Os participantes precisam de ser capazes de se localizar a si mesmos dado que isso poderá reforçar um sentimento de pertença à comunidade. A importância da orientação reside simultaneamente no modo como pode ajudar a formatar o tipo e grau de participação e pelo facto de que as pessoas se tornarão mais capazes de fazer sentido dos significados da prática. Um sentido de orientação obriga a que exista uma preocupação em criar possibilidades de que as pessoas façam sentido do seu posicionamento no espaço da comunidade e ao mesmo tempo ajudando-as a localizarem no tempo (e.g. definindo momentos de avaliação das trajectórias que se vão observando), criando possibilidades para as pessoas se localizem nos significados da prática (e.g. através da partilha de histórias da prática) e se localizem nas relações de poder inerentes a qualquer prática. Ao mesmo tempo, os alunos e os professores deve ter tempo e oportunidade para serem capazes de comparar com outras práticas através da reflexão – procurar e representar padrões de actividade e de competência e partilhá-los com os outros. Como forma de alargar a visão do futuro as pessoas devem ter as ferramentas necessárias para pensar em trajectórias possíveis da prática e de criar cenários hipotéticos e simulações, virtualmente inventando o futuro.

Alinhamento. As ideias de orientação e reflexão estão estreitamente ligadas à noção de alinhamento. As comunidades de prática necessitam de ter a possibilidade de ligar as suas práticas a empreendimentos mais vastos. Uma ideia de alinhamento tornará mais possível que alguns efeitos aconteçam e que as pessoas vejam o seu papel no âmbito de outros contextos mais alargados e em ligação com outras comunidades e outros sistemas de actividade[17]. Wenger (1998) sugere que a convergência e a coordenação constituem as duas dimensões mais importantes neste ponto. A convergência implica uma preocupação não apenas com as tarefas comuns mais simples mas também a necessidade de encontrar interesses e focos comuns de um âmbito mais alargado. Por outro lado, os participantes devem partilhar um telos construído sobre uma compreensão comum e partilhada das situações que vivem, uma partilha de valores e de princípios num sentido que favoreça a convergência de finalidades. A coordenação é um passo crucial nas comunidades construídas sobre a ideia de eficiência mas torna-se igualmente um elemento emergente em todo o tipo de comunidades exista ou não uma coordenação oficial. Inclui a definição de métodos de trabalho, canais de comunicação, recursos para estabelecer pontes para outras comunidades e feedback.

A concluir

Uma noção de educação matemática que inclua a ideia de que a aprendizagem é uma parte integrante das práticas sociais e é constitutiva da participação das crianças e jovens em comunidades de prática, tem múltiplas implicações ao nível de (i) definição dos currículos no que respeita a metodologias de trabalho, áreas temáticas organizadoras das actividades e avaliação das aprendizagens, e (ii) definição de princípios base da formação de professores de educação matemática. Mas de mais é fundamental aprofundar a ideia de perspectivar a educação matemática como fenómeno emergente. Este aprofundamento obriga a pensar a natureza das práticas em que se pretende envolver os alunos como participantes na escola e a encontrar soluções para a dificuldade de antecipar as aprendizagens que se deseja ocorram nos alunos. Em última análise esta perspectiva decorre de pensar a educação matemática em duas dimensões complementares que constituem as práticas escolares em matemática: uma aproximação ao pensar matematicamente e a uma forma de organizar a experiência incluindo um ponto de vista matemático. Este tipo de agenda depara igualmente com dificuldades decorrentes do facto de pretender realizar uma educação matemática em instituições fundadas sobre o utilitarismo. Como pergunta Caldas (1999) ‘como ser educador quando o que se exige [na escola] é um professor burocrata?’

Referências

Caldas, J. (1999). A intervenção do artista na escola. In Caldas, J. & Pacheco, N. (Org) Teatro na Escola. A Nostalgia do Inefável (pp.9-15). Porto: Quinta Parede.

Knijnik, G. (1996). Exclusão e Resistência – Educação Matemática e Legitimidade Cultural. Porto Alegre: Artes Médicas.

Lave, J. & Wenger, E. (1991). Situated Learning: Legitimate Peripheral Participation. Cambridge: Cambridge University Press.

Matos, J.F. (2002). Educação Matemática e Cidadania. Quadrante, vol.11, 1, pp.1-6.

Santos, M.P. (2003). Encontros e Esperas com os Ardinas de Cabo Verde - Aprendizagem e Matemática numa Prática Social. Tese de Doutoramento, Departamento de Educação da Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa. (no prelo)

Skovsmose, O. & Valero, P. (2002). Quebrando a neutralidade política: o compromisso crítico entre a educação e a democracia. Quadrante, vol.11, 1, pp.7-28.

Wenger, E. (1998). Communities of Practice – learning, meaning and identity. Cambridge: Cambridge University Press.

Wenger, E., McDermott, R. & Snyder, W. (2002). Cultivating Communities of Practice. Boston: Harvard Business School Press.

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[1] Centro de Investigação em Educação, Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa

[2] Em Portugal o ensino básico compreende os anos de escolaridade 1 a 9 (aproximadamente 6 a 15 anos de idade num percurso escolar sem repetições) e é obrigatório para todas as crianças.

[3] A mudança de nome (se não se ficar só por aí) pode ser muito importante para dar sinais aos participantes nas práticas escolares. Em Portugal a disciplina de Ginástica foi substituída nos anos setenta pela disciplina de Educação Física; muito mais do que uma mudança de nome, tratou-se da introdução de uma conjunto de elementos que trouxeram uma vocação muito mais relevante a essa disciplina através de dimensões tais como a educação motora, saúde e higiene do corpo, o desporto nas suas diversas componentes, etc.

[4]  A avaliação das aprendizagens parece continuar a ser largamente vista como um processo de legitimar uma dada classificação a ser atribuída pelo professor a cada um dos alunos. Esta não é obviamente a vocação da avaliação na escola que tem que assumir o seu papel de elemento constitutivo do processo de aprender. Em última análise as práticas avaliativas que visam primordialmente a classificação apenas contribuem para a seriação dos alunos e consequentemente para a exclusão escolar e social de muitos deles.

[5] O dia-a-dia (everyday) deve ser entendido no sentido de Jean Lave – não o que se passa necessariamente fora da escola mas todo o conjunto de actividades que faz parte da vida diária das pessoas. Curiosamente, para os alunos, de facto, o dia-a-dia é essencialmente o viver a escola.

[6] A questão seria isomorfa de “Uma caneta custa €1. Quanto custam 4 canetas?” mas a história que envolve o problema é relevante se assim quisermos, quer no caso do problema da viagem em autocarro quer no caso da compra das canetas. A questão está mais no modo como queremos posicionar-nos relativamente às finalidades do trabalho que estamos a fazer com os alunos do que com a objectividade do problema colocado.

[7] Claro que um lisboeta perguntaria de imediato “mas porque é que não vão de Metro, há Metro directo do Campo Grande para o Rossio” o que levantaria outro conjunto de questões ligadas à rede de Metro de Lisboa, ao modo como cobre algumas zonas da cidade, ao modo como se tem desenvolvido, às razões que têm levado a que a expansão da rede seja feita por umas zonas e não por outras, etc, abrindo um campo de análise em que um ponto de vista matemático ocuparia também um lugar muito importante.

[8] O uso do modelo da proporcionalidade é especialmente forte nas sociedades e sobretudo nas actividades comerciais. Encontramos múltipla evidência da sua utilização ora abusiva ora de um modo quase cego quando, por exemplo, damos connosco a pensar que o supermercado nos faz um ‘desconto’ quando nos propõe a compra de um conjunto de embalagens nas tradicionais promoções “Leve 3, Pague 2”. Desmontar e analisar criticamente este tipo de pensamento matemático primário é um dos elementos que podem integrar uma proposta de uma disciplina de educação matemática.

[9] Falo aqui com referência à situação actual em Portugal mas reconheço que é uma situação com contornos diferentes nos diversos países. E chamo a atenção para o facto de se dever equacionar não apenas o insucesso medido pelas reprovações e abandono escolares (que são já dramáticos, por exemplo, ao nível do 9º ano de escolaridade atingindo 40% nalgumas regiões) mas igualmente os modos como o simples facto de certas opções profissionais conterem a disciplina de matemática condicionar de modo fulminante muito jovens na escolha de uma via de estudo.

[10] Não pretendo aqui dizer o que se deve ou como se deve fazer, para estimular o desenvolvimento de comunidades de prática promotoras de educação matemática. O meu argumento essencial é dar conta de como o design de comunidades de prática de acordo com Wenger a tal (2002) pode ser pensado de modo a que isso ajude o leitor a fazer sentido da ideia de educação matemática como fenómeno emergemte.

[11] Tradicionalmente os currículos em matemática na escola básica e secundária são definidos tendo como eixos estruturantes áreas clássicas da matemática tais como Geometria, Álgebra, Estatística, fazendo passar aos professores e aos alunos a mensagem de que esses são os elementos que constituem o domínio de trabalho. Muitos matemáticos e educadores matemáticos reclamam que, ao nível do ensino básico e secundário, esses currículos não tratam efectivamente de matemática mas de matemática escolar. Isto acontece não só porque diversos processos e definições não são correctas do ponto de vista matemático (são aceites naqueles níveis de ensino apenas por razões pedagógicas) mas também porque o campo de produção dos saberes matemáticos não é de facto a escola básica e secundária (mas sim as comunidades dos matemáticos) havendo um processo de recontextualização escolar desses saberes que leva inevitavelmente a uma transformação da sua natureza.

[12] Wenger et al (2002) utilizam a expressão social fabric colocando o ênfase na ideia de que a aprendizagem é não só constitutiva da comunidade mas também um produto da comunidade.

[13] A questão da dimensão da comunidade ou do grupo (número de membros, dispersão de interesses e interacções privilegiadas, etc) é relevante quer no aspecto escolar da educação matemática (por exemplo, relativamente ao número de alunos de uma turma ou de uma escola) mas também na dimensão do desenvolvimento dos professores e dos educadores matemáticos (por exemplo, as opções estratégicas da preparação da série de Conferências Mathematics Education and Society colocam como primeira prioridade o estabelecimento de grupos de cerca de 15 participantes que se mantêm discutindo durante uma semana inteira, ao invés de colocar o centro na diversidade de apresentação de comunicações avulso ou nas sessões plenárias.

[14] Naturalmente que nesta discussão, a ideia de prática não se opõe a teoria como muitas vezes se entende. O espaço desta comunicação não permite um desenvolvimento da ideia de prática; uma discussão muito interessante deste tema com referência à educação matemática pode ser encontrada em Santos (2003).

[15] Wenger et al (2002) escrevem “it can not be designed; it can only be designed for” (p. 236).

[16] Tipicamente a sociedade exige que as crianças vão à escola, elas não têm opção, e isso é entendido socialmente como desejável – as crianças têm que ir à escola. Entendendo obviamente a natureza política desta obrigatoriedade no sentido da formação dos jovens para uma vida na sociedade tal como a conhecemos, isso não deve ser no entanto confundido com pertença nem como sinónimo de participação da pessoa. A participação no sentido que discuto neste texto é algo em que não faz sentido falar de obrigatoriedade.

[17] Um exemplo notável do poder de um alinhamento forte dos participantes envolvidos em práticas sociais é dado por Gelsa Knijnik (1996) ao descrever e analisar os interfaces entre os saberes populares e os saberes académicos e as relações de poder associadas ao saber.

Atividade para 30/07/2016

Educação matemática e cidadania

(editorial Quadrante, Vol. 11, Nº 1, 2002)

João Filipe Matos (editor convidado) Centro de Investigação em Educação Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa

A ideia de cidadania tem evoluído desde a antiga Grécia de acordo com os tempos e as vontades dos povos mas é normalmente tomada como significando a pertença e a participação em actividades de uma dada comunidade ou grupo de comunidades. A noção de pertença passa centralmente pela ideia de que existem elementos comuns entre as pessoas que participam numa dada comunidade e tende a implicar alguma forma de atitude comum e de práticas em conformidade. E é no seio desta pertença que a comunidade atribui aos cidadãos formas de retribuição através de direitos ou privilégios. Embora com diferenças notáveis na concretização por via dos elementos culturais situados em diferentes regiões e grupos, uma noção de “cidadania” cresce invariavelmente associada às formas de pertença à comunidade. Mas é um facto que o conceito de cidadania tem estado historicamente no centro do discurso político ocidental embora as discussões digam respeito na maioria dos casos à natureza dos direitos e das responsabilidades do indivíduo. É assim que as teorias democráticas liberais colocam como fundamental a questão dos direitos e liberdades individuais acentuando um tom de individualismo que acaba por situar a cidadania num plano contra o qual Marx argumenta por exemplo no sentido de que desse modo se despolitiza as pessoas e se legitima o desenvolvimento e sustentação de desigualdades sociais. A história política recente tem mostrado as tensões existentes para além das emergentes das questões (sempre actuais) de classe e de poder. E é pelo conceito de comunidade que passam as questões principais da cidadania dado que os modelos clássicos de cidadania tendem a tratar este conceito como inquestionável e ao mesmo tempo a assumir que a ideia de comunidade está por natureza associada à ideia de estado-nação perdendo assim outras dimensões tais como a dinâmica e a complexidade das próprias comunidades. Está de facto por demonstrar que o estado-nação seja a ordem natural para pensar a cidadania e os acontecimentos recentes do terrorismo internacional (em que a religião surge com uma dimensão de força política), o crescimento das tendências federalistas na Europa, a globalização dos movimentos de capitais, etc, mostram isso mesmo. A isto acrescente-se a emergência e desenvolvimento de novos movimentos ligados por exemplo à defesa do ambiente ou dos animais para se perceber como a ideia de comunidade tem sido enriquecida com novas dimensões que apontam para a defesa das gerações futuras, dos não humanos, da Terra, etc. Trata-se de um desafio que é preciso aprofundar de modo a entender o que está envolvido no exercer da cidadania actualmente e desse modo poder trabalhar a educação para a cidadania com mais noção do âmbito, das implicações e das responsabilidades da escola nessa tarefa.

A cidadania na escola

A introdução de componentes curriculares que de modo explícito se centrem nas questões de natureza política e cívica tem sido invariavelmente objecto de muita cautela por parte das autoridades mas também terreno de diversas (e por vezes pitorescas) controvérsias. No quadro dos documentos de orientação actuais para a educação, é a própria Lei de Bases do Sistema Educativo que coloca na escola uma responsabilidade tremenda na formação social e política dos jovens:

A educação promove o desenvolvimento do espírito democrático e pluralista, respeitador dos outros e das suas ideias, aberto ao diálogo e à livre troca de opiniões, formando cidadãos capazes de julgarem com espírito crítico e criativo o meio social em que se integram e de se empenharem na sua transformação progressiva. (Lei de Bases do Sistema Educativo, Artº 2)

De sublinhar que esta formulação da Lei de Bases avança com a necessidade de formar os jovens para a dimensão da participação (e não apenas da compreensão) na vida em sociedade. A recente reorganização curricular do ensino básico promulgada em 2001 coloca em destaque a educação para a cidadania e coloca-a como elemento transversal nos currículos a ser objecto de atenção em todas as áreas disciplinares. Naturalmente que se a responsabilidade de concretizar a educação para a cidadania no ensino básico é colocada em todas as áreas curriculares, a disciplina de matemática tem que assumir um papel coerente com essa orientação. Mas o meu argumento é que, mesmo que não existisse qualquer orientação para o desenvolvimento da educação para a cidadania no ensino básico, a disciplina de matemática tem que transformar-se numa disciplina de educação de facto e perder a dimensão técnica que tradicionalmente tem assumido.

Da disciplina de Matemática à Educação Matemática

Em diversos momentos tenho defendido a ideia de que a disciplina de matemática deve ser simplesmente eliminada dos currículos do ensino básico e dar lugar a uma disciplina de educação matemática. Não se trata de uma mera alteração de nome nem de uma estratégia de argumentação sobre a necessidade de promover a reflexão sobre as finalidades e a vocação da matemática na escolaridade básica obrigatória. Trata-se isso sim de propor de facto uma mudança de paradigma no modo como se encara a formação matemática dos jovens.

Sobre o saber matemática

Uma das ideias que me parece menos clara no âmbito das discussões sobre o ensino da matemática é a ideia do que é saber matemática. Não é absolutamente nada claro de que se está a falar quando se fala de saber matemática. O modo como os programas de matemática de muitos países (incluindo Portugal) são organizados sistematicamente através dos próprios temas matemáticos (Álgebra, Geometria, Estatística, etc.) denota a crença de que ao “coleccionar” elementos de cada uma das áreas da matemática (na forma de propriedades, definições, processos de cálculo, etc.) os alunos ficarão formados em matemática ou aptos a fazer sentido das diversas coisas matemáticas que lhes foram apresentadas como necessárias. Naturalmente que nesta lógica não se pode estranhar que os alunos não sintam qualquer necessidade de efectuar uma demonstração em matemática já que as demonstrações surgem como parte de uma colecção de coisas a saber e não como algo inerentemente característico da construção humana da matemática. É óbvio que os modos como a matemática é apresentada e servida aos alunos determina os seus modos de se relacionar com esses saberes e por isso não é de estranhar o sentimento quase universalmente negativo relativamente a essa disciplina na escola. Parece tratar-se de uma crença no fenómeno que Ole Skovsmose designa de ressonância intrínseca — a ideia de que se os alunos aprenderem matemática tradicionalmente isso fará “ressonância” com outras aprendizagens e eles serão capazes por si mesmos de perceber o que a matemática tem que ver com outros domínios. Se saber matemática for entendido como adquirir um ponto de vista matemático sobre as coisas não é de esperar que conhecendo diversos temas da matemática os alunos sejam capazes de construir esse ponto de vista.

Sobre o aprender matemática

Uma segunda ideia que necessita de ser escrutinada pelos professores e pelos investigadores é a de aprendizagem. Não me refiro a revisões de literatura académicas sobre teorias de aprendizagem mas de uma reflexão sobre o que significa aprender e as implicações desse significado nas práticas escolares. Um primeiro ponto refere-se à necessidade de reconhecer que na escola básica actualmente não se ensina matemática mas sim algo a que alguns autores chamam matemática escolar. Trata-se não só de uma recontextualização da matemática (que é desenvolvida nas comunidades científicas dos matemáticos) mas da construção de uma outra coisa que assume uma lógica distinta exatamente por ser escolar — uma matemática que os alunos entendem como tendo um lugar bem definido na escola com as suas regras de legitimação e o seu discurso rígido e (artificialmente) rigoroso. Num segundo ponto quero colocar a questão do lugar que a matemática escolar (tal como existe) ocupa na formação dos jovens. A questão central é sobre a pertinência e relevância da matemática escolar. E sobre esta questão podíamos ir buscar os argumentos clássicos (mas muito falaciosos e largamente por discutir) da necessidade da matemática escolar estar incluída nos currículos, nomeadamente os argumentos de natureza psicológica (a matemática desenvolve o raciocínio) e utilitários (a matemática é útil no dia-a-dia). Nem a utilidade nem o desenvolvimento cognitivo se revelam tipicamente como elementos relevantes. Em termos sociais e políticos a relevância da matemática escolar encontra-se no seu papel de seriação e exclusão dos jovens da escola obrigatória. Aprender matemática não pode ser considerado algo distinto, na sua natureza, de outras aprendizagens que as pessoas fazem ao longo da sua vida. Partilho da ideia de Ettiene Wenger de que é útil e muito potente entender a aprendizagem como participação em práticas sociais. Mas esta ideia encerra em si mesma a noção de que se se pretende a emergência de certas aprendizagens é necessário criar condições para que os jovens participem em práticas que incluam essas aprendizagens. Este é muitas vezes encarado como o problema incontornável da educação matemática que tradicionalmente é abordado superficialmente quando remetido para as questões didácticas da disciplina de matemática. Aprender matemática hoje não pode significar mais o coleccionar de um conjunto de técnicas e definições em Álgebra, Análise, Estatística e Geometria.

Sobre o professor de educação matemática

Então em que se distingue a disciplina de educação matemática sugerida acima da disciplina de matemática escolar (tradicional)? Em primeiro lugar na sua vocação e finalidades. A escola deve visar, entre outros elementos, a educação matemática dos jovens. Isto significa que o professor responsável pela condução dessa formação não pode ser um professor que ensina matemática mas um professor que educa matematicamente os jovens levando-os a aprender a ter um ponto de vista matemático sobre uma variedade de situações, nomeadamente ligadas à natureza e à vida em sociedade. É preciso reconhecer os esforços que têm sido feitos por alguns autores de programas em diversos momentos e por muitos professores de procurar estabelecer relações estreitas da matemática escolar com outras áreas do saber (através de projectos de natureza interdisciplinar) e com situações e problemas do dia-a-dia com uma preocupação importante na construção da cidadania. Mas há ainda muito por fazer. Por exemplo, parece-me um contra senso definir de um modo auto-contido no programa de matemática as preocupações específicas que o professor deve ter com os temas matemáticos e a seguir “pedir-lhe” que faça pontes com outras áreas disciplinares. Ao assumir que essas pontes são relevantes tem que assumir-se também que o professor de educação matemática tem que colocar no centro de gravidade das suas preocupações (e por isso mesmo, no programa) outras coisas que não só as da matemática escolar tradicional.

Disponível em [http://ml.apm.pt/files/_Quadrante_volXI_1_editorial_46924599234ad.pdf]. Acesso em 18/06/2016.

ED0579 - REFERENCIAIS TEÓRICO-METODOLÓGICOS DO ENSINO DA MATEMÁTICA NA EDUCAÇÃO INFANTIL

Limite de Faltas: Graduação - 15 faltas

Período de aulas: 11/07/2016 - 09/11/2016

Carga horária: 60 horas

 Horário:

SEG22:00 - 22:50

SAB07:30 - 10:00

EMENTA:

A educação matemática: objeto de conhecimento, importância, interfaces com os diversos campos de conhecimento; propostas de intervenções, modelagem, resolução de problemas, jogos, história da matemática e etnomatemática; os currículos de matemática na Educação Infantil, soluções e impasses pedagógicos gerados pelas práticas adotadas. Processo de planejamento e de avaliação do ensino: concepção e representação de sequências didáticas.

CONTEÚDOS:

•A Educação Matemática enquanto área de conhecimento: fundamentos e principais tendências temáticas.

•Currículo de Matemática na educação infantil: relações entre professor, aluno e saber matemático; o Referencial Curricular Nacional para a Educação Infantil e fundamentos teóricos.

•Ações didáticas de Matemática na educação infantil: diferentes recursos didáticos para a abordagem da Matemática.

AVALIAÇÃO:

1.Produção gráfica sobre o conceito de Educação Matemática e suas tendências.

2.Proposta de sobre ação didática abordando processos mentais básicos para a aprendizagem de matemática.

3. Auto avaliação